martes, 2 de septiembre de 2014

Teoría de la Relatividad de Einstein... ¡Qué especial eres!








El tiempo... ¿Qué es el tiempo? Podrías pensar en el tiempo como el tic tac de un reloj, o como la manera en que va llegando la noche mientras el sol se esconde en el firmamento, pero si intentas profundizar sobre el concepto de tiempo, sobre su naturaleza física,  probablemente no llegues a comprenderlo. No te preocupes, físicos y filósofos a lo largo de la historia han intentado encontrar la respuesta a esta pregunta, y a día de hoy, todavía no se ha encontrado satisfactoriamente. Parece mentira que algo que forma parte de nuestra propia existencia, algo tan cotidiano, sea un concepto que siga dando verdaderos quebraderos de cabeza.

Dejando al margen el concepto de tiempo en sí, puede que te hagas una idea de algunas de sus características. Puedes pensar que el tiempo tiene una dirección de un solo sentido, del pasado hacia el futuro. Y puede que pienses que el tiempo es absoluto, es decir, que mientras lees estas líneas está transcurriendo el mismo tiempo en todo el Universo. Pues bien, sobre la primera cuestión hay ciertas dudas, y la segunda tuvo que ser desterrada gracias a uno de los grandes genios de la ciencia. Hablamos de Albert Einstein y su Teoría de la Relatividad Especial, donde se pone de manifiesto que el tiempo no es absoluto, que el tiempo puede cambiar para diferentes observadores. Esto puede contradecir nuestra experiencia cotidiana, nos resulta muy extraño pensar que el tiempo pueda pasar más despacio para unos objetos u otros, que una persona pudiera envejecer más lentamente que otra, pero por muy raro que nos resulte, la naturaleza, a través de la ciencia, nos ha indicado que es así. Debemos dejar a un lado nuestra percepción de la realidad y aceptar que el Universo es mucho mas extraño y fascinante de lo que a simple vista nos parece.

Pero no nos conformaremos con que Einstein lo diga, en esta entrada deduciremos matemáticamente la ecuación donde se pone de manifiesto la dilatación del tiempo. Tendrá una parte algo más técnica, pero espero que esto no te eche atrás, utilizaremos unas matemáticas muy simples. Únicamente utilizaremos el famoso teorema de Pitágoras, que nos da la relación entre los lados de un triángulo rectángulo y la ecuación que relaciona la velocidad con el espacio y el tiempo. Además, si Einstein pudo, ¿por qué tú no?

Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

Antes de meternos de lleno en la deducción de la ecuación, presentaremos algunas premisas.

Imagina una persona, a la que llamaremos observador 1, que viaja en el vagón de un tren que se mueve con una velocidad constante de, por ejemplo 200 km/h, y lanza horizontalmente una pelota de goma a una velocidad de, por ejemplo, 20 km/h, tal como se muestra en la siguiente figura:




Bajo el punto de vista del observador 1, la velocidad que adquiere la pelota es justamente esa, 20 km/h. Este observador vería a la pelota alejarse de él a esa velocidad. Además, todos los experimentos que pudiera realizar el observador 1 dentro del tren, ocurrirían de la misma manera que si el tren estuviese parado. Si dejase caer un objeto, vería como cae verticalmente hacia abajo y si lo lanzase horizontalmente, vería que el objeto adquiere la velocidad horizontal con la que ha sido lanzado. El observador 1 no tiene ninguna manera de saber si el tren está en movimiento o no mediante ningún experimento físico siempre y cuando el tren se mueva a una velocidad constante, es decir, mientras no haya aceleraciones. 

Este hecho lo hemos experimentado todos. Cuando viajamos en coche, únicamente notamos que estamos en movimiento cuando aceleramos, frenamos o tomamos una curva, es decir, cuando hay aceleraciones por medio. Para aclarar más el tema, piensa en que todos nosotros vamos viajando en un gran vehículo espacial, la Tierra, y ninguno notamos velocidad. Para concluir, podríamos decir que no hay manera alguna de poder deducir mediante ningún experimento si estamos en un movimiento a velocidad constante o en reposo.

Volvamos a la figura anterior. Pensemos ahora en una persona situada en las vías del tren, fuera de éste, que, para ser originales, llamaremos observador 2.

El observador 2 vería salir la pelota con una velocidad de 220 km/h, pues a la velocidad con las que el observador 1 lanza la pelota, habría que añadirle la velocidad que tiene el tren. La pelota se movería así a una velocidad de 220 km/h respecto al observador 2.

Así pues, la velocidad de un objeto es relativa al observador, toma diferentes valores dependiendo de la velocidad relativa entre los observadores. 

Por otro lado, podrías decir que 220 km/h es la velocidad absoluta de la pelota, pero entonces piensa en lo siguiente: La tierra se mueve respecto al sol a una velocidad de 107.280 km/h, luego ¿por qué no decir que la pelota se mueve a 107.500 km/h (107.280 + 220)? ¿y por qué coger como referencia el sol? ¿y si cogemos como referencia nuestra galaxia? La velocidad entonces sería diferente. Y así sucesivamente. En conclusión, no existe un marco de referencia en reposo absoluto con el que medir la velocidad. No existen velocidades absolutas, aunque como veremos a continuación, hay una gran excepción a este hecho. Veamos. 

Imagina ahora que en vez de una pelota utilizamos luz en nuestro experimento. El observador 1 enciende una linterna y un haz de luz sale en la misma dirección y sentido que el movimiento del tren, tal como se muestra en la siguiente figura.



Para el observador 1 este haz de luz, si asimilamos que nuestro experimento se realiza en el vacío, viajaría a una velocidad "c" de 299.792 km/s. Pues bien, y aquí está la clave de todo, para el observador 2 la velocidad del haz de luz sería exactamente la misma que para el observador 1. La velocidad del haz de luz no vería incrementado su valor debido a la velocidad del tren. ¿Por qué? Pues porque la velocidad de la luz es una constante universal que no puede ser superada. Da igual la velocidad a la que se mueva la fuente que emite la luz, o el observador, ésta siempre tendrá una velocidad de 299.792 km/s. Si fuésemos capaces de correr casi a la velocidad de la luz, e intentásemos perseguir a ésta, la seguiríamos viendo alejarse de nosotros a 299.792 km/h. Este hecho resulta bastante anti intuitivo, pero como hemos dicho, nuestra intuición, o nuestro sentido común, no tiene por que mostrarnos la realidad de los hechos naturales, de hecho, se equivoca en numerosas ocasiones.

Hagamos hincapié en este tema porque en él se encuentra la clave de la Teoría de la Relatividad Especial. Hemos visto que las velocidades de los objetos son relativas, dependen respecto a qué las midamos. Son relativas excepto para un único caso: la velocidad de la luz. La velocidad de la luz es una velocidad absoluta, no depende respecto a qué la midamos y su valor no puede ser superado. Es una constante universal que no puede ser superada.

Asentadas las premisas que hemos visto, vamos ahora a deducir la ecuación que pone de manifiesto la dilatación en el tiempo. Volvamos al ejemplo del tren y realicemos el siguiente experimento mental:

Recuerda, el observador 1 viaja dentro de un tren. El tren se mueve a una velocidad constante, que llamaremos "v". Dentro del vagón hay un dispositivo, una especie de reloj de luz, formado por dos espejos horizontales situados a 1 m de distancia entre ellos, en los que rebota un haz de luz, tal como se muestra en la siguiente figura:





El haz de luz sale del espejo inferior y rebota en el espejo superior, volviendo al punto inicial, donde rebota nuevamente y así sucesivamente. Para el observador 1, el trayecto que describe el haz de luz sería una línea vertical. Veamos las magnitudes que podría medir el observador 1.

El espacio recorrido es igual a la velocidad multiplicada por el tiempo. Por ejemplo, si viajamos en coche durante una hora a una velocidad de 100 km/h habremos recorrido 100 km (Espacio recorrido = 100 km/h x 1 h = 100 km). En nuestro experimento, para el observador 1 la distancia que recorre el haz de luz entre el espejo inferior y superior es de 1 metro, y es igual a la velocidad de la luz multiplicada por el tiempo que tarda el haz de luz en recorrer esa distancia. Tenemos:




 y despejando T 

Éste sería el tiempo que tarda el haz de luz en ir de un espejo a otro, medido por un observador dentro del vagón.




Ahora mediremos las diferentes magnitudes desde el punto de vista del observador 2, que se encuentra fuera del tren, en las vías del mismo. El haz de luz sale con una velocidad "c" en dirección vertical, pero como el tren se mueve a una velocidad "v" horizontalmente, el observador 2 vería el recorrido que realiza el haz de luz como la línea que une los puntos 1, 2 y 3.






Para el observador 2, la luz partiría del punto 1, rebotaría en el punto 2 y se dirigiría hacia el punto 3. Y así sucesivamente.

Centrémonos ahora en el triángulo rectángulo formado por los vértices situados en los puntos 1, 2 y 4.

En este triángulo, la distancia del cateto vertical (del punto 4 al 2) es de 1; la del otro cateto (del punto 1 al 4) es v x t (la velocidad del tren multiplicada por el tiempo); y la de la hipotenusa (del punto 1 al 2) es c x t. Aquí volvemos a la clave de todo. Como la velocidad de la luz "c" no puede ser superada, da igual que el tren se mueva a una velocidad "v" o que estuviese parado, la velocidad del tren no va a incrementar el valor de la velocidad de la luz, ya que éste no puede ser superado. Por tanto, para calcular la distancia de la hipotenusa no utilizamos la velocidad resultante tras combinar "c" y "v", ya que la velocidad no puede ser mayor que "c".

Pues bien, teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras para el triángulo mencionado:



pasando v2 x t2 al otro lado de la ecuación:


sacando t2 como factor común:


despejando t2:


y aplicando la raíz cuadrada a un lado y otro de la ecuación:








Recapitulando, para un observador dentro del tren, el tiempo que tarda un haz de luz en ir de un espejo a otro viene dado por la ecuación (1):



Y para un observador situado fuera del tren, el tiempo que tarda el haz de luz en hacer lo mismo, es decir, en ir de un espejo a otro, viene dado por la ecuación (2):





¡Los tiempos son diferentes! Para un mismo fenómeno (el recorrido que realiza el haz de luz para llegar de un espejo a otro) dos observadores con velocidades relativas diferentes miden diferentes tiempos. ¿Cuál es el tiempo verdadero? ¿Existe un tiempo absoluto? A la conclusión que llegamos es que no existe un tiempo absoluto. Para observadores que se mueven a distinta velocidad, el tiempo es diferente.

A continuación vamos a obtener la relación entre el tiempo medido por el observador 2 y el medido por el observador 1. Para esto, dividimos la ecuación (2) entre la (1):



dividiendo arriba y abajo por c:


introduciendo c en la raíz:


y despejando t:





Hasta aquí con la deducción de ecuaciones. Hemos llegado a la ecuación que relaciona los tiempos de dos observadores que se mueven a velocidades distintas, siendo "v" la velocidad relativa entre ambos.  

Fijémonos con más detalle en la ecuación. Lo que la ecuación nos indica es:

"Un observador comprueba que el tiempo pasa más lentamente para otro observador que se mueve a cierta velocidad, más lentamente cuanto mayor es la velocidad" 

Esta diferencia de tiempos depende del valor de la velocidad relativa entre los dos observadores. Para una persona que mide el tiempo en el cual transcurre algún fenómeno dentro de un objeto en movimiento respecto a él, su valor ira cambiando según varíe "v", la velocidad con la que se mueve el objeto respecto a la persona. Dicho de otra manera: una persona observa que el reloj de otra persona (un reloj idéntico al suyo) está marcando el tiempo más lentamente que el suyo.

Para poder comprender mejor la ecuación, realizaremos una gráfica representando cómo varía la dilatación en el tiempo, esto es, el número por el que se ve multiplicado el tiempo, en función de "v", expresada como porcentaje sobre la velocidad de la luz a la viajamos:

 

Cuando la velocidad a la que nos movemos es pequeña en comparación con la de la luz, esto es, para % sobre la velocidad de la luz pequeñas, la dilatación es prácticamente despreciable. El factor multiplicador sería 1, los tiempos son prácticamente los mismos. Sólo a partir de velocidades del orden de la velocidad de la luz, comenzamos a notar la dilatación en el tiempo.

Pongamos algunos ejemplos con diferentes valores de "v":

Primero veamos que ocurre si el tren está parado. Si el objeto está parado, entonces "v" sería cero y tendríamos:







Los tiempos serían exactamente los mismos.
A las velocidades en las que nos solemos mover nosotros, "v" es muy pequeña en comparación con la velocidad de la luz "c", por lo que el cociente entre el cuadrado de las velocidades es también prácticamente cero. Este es el motivo por el cual en la vida cotidiana no notemos el efecto de la dilatación en el tiempo.  

Veámoslo con otro ejemplo:
Imagina que viajas en un avión supersónico al doble de la velocidad del sonido, es decir, a 2470 km/h. Es una velocidad nada despreciable para nosotros, sin embargo corresponde con muy poco más del 0% de la velocidad de la luz. Pues bien, realizando los cálculos obtendríamos que:





Esto quiere decir que el tiempo se alargaría en un factor 1,000000000002.  Una cantidad ridícula. ¡Y eso que viajábamos a esa “gran” velocidad! Así, si viajásemos durante un año nuestro tiempo se alargaría 0,000063 segundos. Para una persona que estuviese viajando 50 años a esa velocidad, el tiempo se habría alargado 0.0032 segundos. Como ves, incluso a velocidades que para nosotros son bastante elevadas, el cambio en el tiempo es insignificante.


La cosa cambia cuando nos movemos a velocidades cercanas a la de la luz. Fíjate en la ecuación. En estos casos, el cociente entre el cuadrado de la velocidad a la que nos movemos y el cuadrado de la velocidad de la luz, ya tiene un valor apreciable. Así, al restarle a uno ese valor obtenemos un numero muy pequeño, al hacer la raíz cuadrada a ese numero, seguimos obteniendo un numero más o menos cercano a cero, y al dividir uno entre ese valor obtenemos un valor grande, más elevado cuanto más se aproxime la velocidad a la de la luz. Para ver mejor el efecto, recurriremos otra vez a la gráfica, pero esta vez centrada en el intervalo comprendido entre el 99 y el 100% de la velocidad de la luz:





A estas velocidades, el efecto dilatador del tiempo ya toma valores considerables. Tanto más altos cuanto más nos acerquemos a la velocidad de la luz. De hecho, cuando estamos muy próximos a ésta, la dilatación temporal se dispara.

Veámoslo con un ejemplo. Supongamos que realizamos un viaje espacial a una velocidad de un 99.8 % de la de la luz. Pues bien, realizando los cálculos, si viajásemos durante un año ahora nuestro tiempo se alargaría en casi 15 años más. Si viajásemos durante 50 años se alargaría en ¡740 años más! Cuando volviésemos de nuestro viaje, en el mundo que dejamos atrás habrían transcurrido 740 años más. ¡Hemos encontrado la manera de viajar al futuro! 

La conclusión es sorprendente, cuando mas rápido viajemos más lento será el paso de nuestro tiempo.

¿Y que pasaría si alcanzásemos la velocidad de la luz? Pues que el tiempo se alargaría infinitamente. Un segundo nuestro sería la eternidad para el mundo que dejamos atrás... ¿Y si viajásemos a una velocidad superior a la de la luz? Hay quien dice que viajaríamos al pasado... La realidad es que, como hemos dicho, no se puede superar la velocidad de la luz, ni tampoco alcanzarla (ningún objeto con masa) por lo que plantearse estas cuestiones no tiene sentido.

Hay una última cuestión importante: en realidad, si realizases un viaje espacial a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, para ti el tiempo pasaría igual de rápido. No te verías a ti mismo como en una película a camára lenta. Tampoco sería como si vivieses más años, como si envejecieses más lento. Para ti la percepción del paso del tiempo sería exactamente la misma. Un minuto, para ti, seguiría siendo un minuto. Recuerda que el tiempo que se relentiza es tu tiempo pero medido desde otro observador. Para ti lo que ocurriría exactamente es que al término de tu viaje encontrarías que el tiempo en la Tierra ha pasado mucho más rápido. Una cosa rara ésta del tiempo... ¿no?.


Éste es sólo uno de los grandes legados que nos dejó Albert Einstein, y sólo una parte de su Teoría de la Relatividad Especial. De su desarrollo se desprenden otras muchas consecuencias tan interesantes como espacios que se contraen y la ecuación más famosa de todos los tiempos, que seguro ahora tienes en mente. Gracias a Einstein desterramos la idea de un tiempo absoluto, pasando a un tiempo distorsionable, maleble.  

Una vez más, hacemos gala de la frase introductoria de este blog. Una vez más:

 "Nuestra imaginación palidece ante la asombrosa realidad del Cosmos"

"Los relojes blandos" de Dalí



17 comentarios:

  1. Plas, plas, plas...
    A sus pies. Enhorabuena por la entrada.

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  2. Muy buena entrada y perfectamente explicado, gracias por el aporte!

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  3. Miguel Angel Salcedo9 de abril de 2015, 23:40

    Espectacular el artículo. Muchas gracias!
    Tengo una duda que no se si es demasiado tonta o demasiado complicada, porque no soy capaz de resolverla:
    Está claro que el paso del tiempo es relativo. Según el ejemplo del artículo, para el observador de fuera del tren el tiempo pasaría más rápido que para el observador dentro del tren.
    Ahora bien, si ubicamos el reloj de luz fuera del tren, por el mismo movimiento relativo entre el tren y el dispositivo de luz, toda la explicación que has dado respecto del movimiento vertical del haz de luz y horizontal del tren aplicaría pero a la persona de dentro del tren, puesto que se está moviendo respecto del dispositivo de luz (al reves que en tu ejemplo).Eso quiere decir que para la persona de fuera del tren el tiempo pasaría más lento que para la persona de dentro (exactamente al revés que tu ejemplo).
    Y aquí es donde me lío, porque un ejemplo dice que el tiempo pasa más rápido para el observador que está en el tren, y el otro dice justo lo contrario, todo dependiendo de donde ubicas el reloj de luz para medir el tiempo. Por otra parte mi duda tiene lógica, puesto que como el movimiento también es relativo, no podemos decir que el observador de fuera esté estático y el tren se mueve, sino que podemos decir igualmente que el tren está estático y la persona de la tierra se mueve a 200 km/hora relativo a él.
    ¿Alguna idea de por qué mi razonamiento es incorrecto?
    Gracias por ayudarme a comprenderlo mejor ;-)

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    1. Es que no es incorrecto. Si los dos observadores se alejan a una velocidad relativa constante no hay diferencia entre los dos. Uno verá que el tiempo pasa más lentamente en el reloj del otro y viceversa. Entonces, ¿quién enveje más lento? Es lo que se conoce como "La paradoja de los gemelos" (que no es tal paradoja). Puedes ver una explicación de la misma aquí: http://eltamiz.com/2007/06/13/relatividad-sin-formulas-paradoja-de-los-gemelos/

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    2. Miguel Angel Salcedo10 de abril de 2015, 17:02

      Madre mía. Me he leido el post al que me haces referencia y prácticamente todos sus comentarios (5 años de comentarios jajaja). Parece que no soy el único que no lo veía claro. Gracias al post y sobre todo a las aclaraciones de los comentarios creo que lo he entendido (sistemas de referencia, aceleraciones, etc.).
      Gracias por tu ayuda ;-)

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    3. La verdadera paradoja de la Relatividad Especial es la "Paradoja de los Relojes", ya que la "Paradoja de los Gemelos" es una variante en la cual están implicadas aceleraciones y gravedad, de forma que el problema ya no es simétrico y entra, además, en el campo de la Relatividad General.
      En la década de 1960, un científico llamado Herbert Dingle planteó la "Paradoja de los Relojes" original en la revista Nature, la cual implica que cada uno de los dos relojes (en movimiento relativo uniforme) ha de retrasarse con respecto al otro reloj.
      Véase http://foro.migui.com/vb/showthread.php/13801-H-Dingle-demostró-que-la-Relatividad-Especial-es-errónea

      Un cordial saludo.

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    4. Gracias por la información! Le echaré un vistazo

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  4. mmmm no se si estoy mal pero al comienzo de la explicacion al aplicar el teorema de pitagoras
    c^2*t^2=v^2*t^2+1 el t^2 de la parte de la izquierda no es el mismo del de la parte derecha pero se los toma como iguales, digo esto porque el t^2 de la izquierda es el tiempo de recorrido en la hipotenusa distancia que es mayor a la del cateto que es 1metro, ya que la vel de la luz no se ve afectada por la velocidad del tren, el tiempo de la luz en recorrer 1metro(distancia entre espejos) es menor que el empleado en recorrer mas de un metro(hipotenusa). para mi con pitagoras ya vemos dos tiempos diferentes para un mismo evento, o sea una dilatacion de tiempo

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  5. Como representante de la física clásica, yo no creo que la velocidad del fotón (en ese imaginario reloj de luz) tenga que mantenerse constante para cualquier observador. No obstante, voy a demostrar que el reloj de luz no se ajusta a la Teoría de la Relatividad tan bien como suele decirse (aun suponiendo que la velocidad de la luz en el vacío fuera totalmente constante, como estableció Albert Einstein).

    Si en lugar de moverse en dirección horizontal, el reloj de luz se moviera en vertical, es decir, en la misma dirección que el fotón dentro del reloj, entonces este reloj ya no podría verificar la variación del tiempo predicha por la Relatividad.
    Visto por el observador respecto al cual se mueve el reloj de luz en vertical y hacia abajo, el intervalo de tiempo se alarga o “dilata” mucho cuando el fotón también se mueve hacia abajo (porque el fotón tendría que “perseguir” al espejo inferior del reloj en su movimiento) pero el intervalo de tiempo se acorta mucho o “contrae” cuando el fotón se mueve hacia arriba (porque el fotón se encontraría enseguida con el espejo superior del reloj). Aunque la suma de los dos intervalos (t1+t2) se ajustaría a la previsión relativista, resulta que en este caso el reloj tiene un ritmo muy irregular, retrasándose y adelantándose de forma alternativa, lo cual no puede explicarse desde la Relatividad. Si el observador toma una medida de tiempo en el reloj, de tal forma que se produzca un número impar de tics (en lugar de un número par), el intervalo medido ya no se ajustaría a la previsión relativista (por ejemplo, t1+t2+t1+t2+t1 sería un tiempo total mayor que el valor exacto previsto por la Relatividad, mientras que t2+t1+t2+t1+t2 sería un tiempo total menor que el predicho; y estas diferencias serían más claras si el reloj de luz se mueve en vertical a una velocidad muy próxima a c).

    Por otra parte, la Relatividad de Einstein también prevé una alteración o “dilatación” del tiempo debida a un aumento de la gravedad (además de la que se produciría por causa del movimiento relativo). Pero resulta que si colocamos el reloj de luz sobre la superficie de Júpiter (un planeta con una gravedad más fuerte que la terrestre) y observamos el ritmo del reloj de luz sin movernos respecto a él, resulta que el fotón se seguiría moviendo en vertical, hacia arriba y hacia abajo, a la misma velocidad de la luz en el vacío (la constante c). Así pues, el reloj de luz imaginado por la escuela relativista no puede verificar la dilatación del tiempo gravitatoria, prevista por la Relatividad General.

    Por todo ello, el reloj de luz no se puede considerar una prueba de la validez de la Relatividad, sino más bien todo lo contrario.

    Saludos.


    Nota adicional: Si se parte de la idea de que la velocidad de la luz es relativa al observador (como ocurre con la velocidad de cualquier otra cosa), entonces el reloj de luz siempre funcionaría correctamente conforme a las previsiones de la física clásica, sin producirse ningún tipo de fallo o contradicción con la teoría. El fotón recorrería distancias distintas a velocidades distintas (según el sistema de referencia desde el que se observe), pero en el mismo tiempo. De este modo, el reloj de luz siempre mediría el tiempo al mismo ritmo, ya se estuviera moviendo en horizontal o en vertical, con gravedad o sin ella.

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  6. Durante más de un año he intentado entender la relatividad de Einstein al fin lo he conseguido gracias en serio buenas explicaciones muy buenas

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  8. Buenas noches ,gracias por aclarar la teoria de relatividad de Einstein

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  9. Bonita pero lamentable explicación, igual como lo hizo Einstein en su artículo original. El fotón no puede seguir la diagonal como se plantea, IMPOSIBLE!!!

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